Cos'è teorema di rolle?

Il teorema di Rolle è un teorema fondamentale del calcolo differenziale. Prende il nome dal matematico francese Michel Rolle che lo enunciò per la prima volta nel 1691.

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso [a, b] e derivabile in un intervallo aperto (a, b), e se il valore della funzione in a è uguale al valore della funzione in b, allora esiste almeno un punto c all'interno dell'intervallo aperto (a, b) in cui la derivata prima di f(x) si annulla, ovvero f'(c) = 0.

In altre parole, se una funzione è continua in un intervallo chiuso e derivabile in un intervallo aperto, e assume lo stesso valore in due estremi dell'intervallo chiuso, allora esiste almeno un punto all'interno dell'intervallo aperto in cui la tangente alla curva è parallela all'asse x.

Questo teorema è una conseguenza diretta del teorema di Fermat sulla derivata, che afferma che se esiste un punto critico di una funzione (un punto in cui la derivata si annulla o non esiste), allora è un punto di massimo o minimo locale.

Il teorema di Rolle ha diverse applicazioni pratiche, ad esempio nel calcolo delle tangenti o delle asintoti alle curve, nella dimostrazione di teoremi più generali come il teorema del valore medio, e nella risoluzione di equazioni o disequazioni mediante l'analisi del segno delle derivate.